Kuadratik formlar ve diophantine denklemleri

Abstract

Bu tezde kuadratik formlar ve Diophantine denklemleri ele alınmış ve bunlar ile ilgili bazı cebirsel özellikler elde edilmiştir.Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde çalışma ile ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir.İkinci bölümde, sonlu cisimler üzerinde tanımlı özel eğriler ele alınmış ve bunlar üzerindeki rasyonel noktaların sayısı sonlu cisimlerinde ele alınmıştır.Üçüncü bölümde, Diophantine denkleminin tamsayı çözümleri tamsayılarda ve sonlu cisminde ele alınmıştır. Daha sonra bu Diophantine denkleminin köklerine bağlı olarak tanımlanan eğri üzerindeki rasyonel noktaların sayısı sonlu cisminde belirlenmiştir.Dördüncü bölümde, kuadratik idealler ve indefinite kuadratik formlar ele alınmıştır. Bu bölümde iki özel kuadratik ideal ele alınmış ve bu ideallerin özellikleri verildikten sonra bu ideallerin çarpımları oluşturulmuştur. Daha sonra bu kuadratik ideallere karşılık gelen indefinite kuadratik formlar ele alınmıştır.Beşinci bölümde, özel bir tamsayı dizisi verilmiş ve bu dizinin parametrelerine bağlı olarak tanımlanan Pell denkleminin tamsayı çözümleri ve bu çözümlerle ilgili indirgeme bağıntıları elde edilmiştir.

In this thesis, some algebraic properties of binary quadratic forms and Diophantine equations are given.The thesis consists of five chapters. In the first chapter, the preliminary notations, definitions and theorems which are to be used in later chapters are given.In the second chapter, the number of rational points on some specific curves is formulated over finite fields .In the third chapter, the integer solutions of Diophantine equation are considered both over integers and over finite fields . Later the number of rational points on curves related to roots of are determined over .In the fourth chapter, quadratic ideals and indefinite binary quadratic forms are considered. Here two specific kuadratik ideal are considered and derived some properties of them. Later their product is obtained. Finally, some properties of indefinite binary quadratic forms related to these ideals are obtained.In the last chapter, some properties of a specific integer sequence are given and later integer solutions of a Pell equation related to parameters of this integer sequence are formulated. Also some recurrence relations on this integer sequence are given.