Sonlu cisimler üzerinde Tate normal formlar

Abstract

Bu çalışmada özel bir eğri ailesi olan Tate normal formdaki eliptik eğriler sonlu cisimler üzerinde ele alınmış ve bu eğriler üzerindeki noktaların oluşturduğu grupların yapıları belirlenmiştir.Çalışmanın birinci bölümünde, ikinci ve üçüncü bölümlere temel oluşturacak kavramlar verilmiştir. Cebirin ve sayılar teorisinin temel kavramları ve temel teoremleri bu bölümde ele alınmıştır.Çalışmanın ikinci bölümünde, eliptik eğriler, singüler eğriler ve bu eğrilerin sonlu cisimler üzerindeki özellikleri incelenmiştir.Üçüncü bölüm ise çalışmanın ana kısmını oluşturmaktadır. Bu bölümde, öncelikle, eliptik eğrilerin Tate normal form kavramı tanımlanmıştır. Daha sonra sırasıyla p asal sayı olmak üzere sonlu Fp cismi üzerinde tanımlı Tate normal formdaki eliptik eğriler üzerindeki noktalar elde edilerek, eğrilerin mertebeleri belirlenmiştir. Elde edilen sonuçlara göre eğriler mertebelerine göre sınıflandırılmıştır. Son olarak, eğri üzerindeki noktaların mertebeleri kullanılarak, eğri üzerindeki noktaların oluşturduğu grupların yapıları belirlenmiştir.

In this work, Tate normal forms of elliptic curves defined over finite fields are discussed and the structure of groups of points on these curves are given.In the first chapter, the concepts form the basis for the second and third chapters are given. The basic concepts and theorems of algebra and number theory are discussed in this chapter.In the second chapter, elliptic curves, singular curves and properties of these curves defined over finite fields are considered.Third chapter is the main part of the work. First, the concept of Tate normal form of elliptic curves are defined. Then by obtaining the points on the Tate normal form of the elliptic curves defined over finite fields Fp (where p is a prime), the orders of these curves are determined. According to these results curves are classified with respect to the orders. The group structures of the points on these curves are given by using the order of the points on the curves.