Rekurrent diziler ve uygulamaları

Abstract

Bu çalışmada özel bir eğri ailesi olan Tate normal formdaki eliptik eğriler ile eşleşen rekurrent Somos 4 dizileri ele alınmış ve bu dizilerin olmak üzere için tüm hn terimlerinin birer tamsayı oldukları gösterilmiştir. Bir uygulama olarak, bu dizilerdeki kare ve küp terimlerin sonsuz çoklukta bulunduğu belirlenmiştir. Çalışmanın birinci bölümünde, ikinci ve üçüncü bölümlere temel oluşturacak kavramlar verilmiştir. Genel olarak lineer ve bilineer rekurrent diziler incelenerek bu dizilerin temel özellikleri üzerinde durulmuştur. Bu bölümün son kısmında eliptik eğriler ele alınmış ve temel özellikleri belirtilmiştir. Çalışmanın ikinci bölümünde, rekurrent eliptik bölünebilir diziler ile ilgili temel kavramlar ve teoremler ifade edilmiştir. Üçüncü bölüm ise çalışmanın ana kısmını oluşturmaktadır. Bu bölümde, öncelikle, genel olarak rekurrent Somos dizileri tanımlanmış ve bu dizilerin genel özellikleri üzerinde durulmuştur. Daha sonra Tate normal formdaki eliptik eğriler ile eşleşen Somos 4 dizilerinin tüm terimlerinin birer tamsayı oldukları gösterilmiştir. Uygulama olarak, bu dizilerdeki kare ve küp terimlerin neler oldukları belirlenmiştir.

In this work, a family of Somos 4 sequences is given and it is proved that all Somos 4 sequences associated to Tate normal forms with consist entirely of integers for . As an application, it is shown that there are infinitely many squares and infinitely many cubes in Somos 4 sequences associated to Tate normal forms. First chapter is the basis for the second chapter and the third chapter. Linear and bilinear recurrence sequences are discussed in this chapter. Also elliptic curves are considered in this chapter. In the second chapter, elliptic divisibility sequences are examined. Third chapter is the main part of the work. First, Somos sequences are defined. Then by obtaining the general terms of Somos 4 sequences associated to Tate normal forms, it is proved that these sequences with consist entirely of integers for . Finally, as an application, square terms and cube terms of these sequences are determined by using general terms.