Sonlu cisimler ve uygulamaları

Abstract

Bu çalışmada sonlu cisimlerin özellikleri ele alınmış ve sonlu cisimlerin eliptik eğriler üzerine uygulamaları üzerinde durulmuştur. Birinci bölümünde çalışmada kullanılacak olan bazı temel kavram ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde sonlu cisimlerin cebirsel özellikleri ele alınmış, her p asal sayısı ve her n ∈ N sayısı için p n mertebeli bir sonlu cismin var olduğu ve Fp[x] halkasında istenen her dereceye sahip bir indirgenmez polinomun varlığı ele alınmıştır. Daha sonra indirgenemez polinomların kökleri ele alınarak sonlu cisimlerin Galois grupları ele alınmış ve sonlu cisimler için iz, norm ve baz kavramları ele alınarak ve bunlarla ilgili bazı teoremler verilecektir. Birimin kökleri kavramı incelenerek ve sonlu cisimler üzerinde tanımlı döngüsel polinomlar ele alınmıştır. Üçüncü bölümde sonlu cisimler üzerinde polinomlar ele alınmıştır. Bu polinomların mertebeleri ve özellikleri üzerinde durulmuş ve ilkel polinom kavramı ele alınmıştır. Daha sonra sonlu cisimler üzerinde tanımlı monik indirgenemez polinomların sayısı bazı özel fonksiyonlar yardımıyla ifade edilmiştir. Dördüncü bölümde sonlu cisimlerin bir uygulaması olarak sonlu cisimler üzerinde eliptik eğriler ele alınmış ve sonlu cisimler üzerinde tanımlı eliptik eğriler üzerindeki noktaların belirlenmesi üzerinde durulmuştur.

In this work, properties of finite fields and applications of finite fields over elliptic curves are discussed. In the first chapter, some fundamental definitions and theorems which will be used in the work are given. In the second chapter, the algebraic properties of the finite fields are discussed. It is proposed that, for every prime p and n ∈ N there is an irreducable polynomial over Fp[x]. Then, Galois groups are discussed by analysing the roots of irreducable polynomials. Trace, norm and base terms for finite fields are handled and some theorems are given about these terms. By analysing the roots of unity, cyclotomic polynomials over finite fields are scrutinized. In the third chapter, polynomials over finite fields are handled. The orders and properties of these polynomials are elaborated and primitive polynomials are discussed. Then, the number of monic irreducible polynomials over finite fields are expressed by the help of some special functions. In the last chapter, as an application of the finite fields, elliptic curves over finite fields are handled and identification of the points of the elliptic curves over finite fields is emphasized.