Cebirsel eğriler üzerindeki rasyonel diziler

Abstract

Tez yedi bölümden olusmaktadır. Ilk üç bölümde cebirsel ve eliptik egriler ile ilgili temel bilgiler ve bazı önemli teoremlere yer verilmistir. K; L 2 Q iken Q’da y2 = x3 + Kx + L ile verilen E eliptik egrisi olsun. i =1; : : : ; k iken noktaların x-bilesenleri xi’lerardı sık küplerden olusursa (xi; yi) 2 E(Q)rasyonel noktalar kümesinin E üzerinde ardısık küplerin bir dizisi oldugu söylenir.Tezindördüncü bölümünde ardısık küplerin 5-terimli dizilerini içeren eliptik egrilerin sonsuz bir ailesinin varlıgını gösteriyoruz. Ayrıca bu bes rasyonel noktanın E(Q)’da lineer bagımsız dolayısıyla E(Q)’nun rankı en az 5 oldugunu gösterdik. Tezin besinci bölümünde, bir F sayı cismindeki elemanların bir S alt kümesi verildiginde x-bilesenleri S’nin elemanları olan rasyonel noktalara sahip F cismi üzerindeki düzlem cebirsel egrilerin varlıgını tartısıyoruz. S-dizisinin eleman sayısı jSj = 4; 5 veya 6 iken üzerindeki rasyonel noktaların x-bilesenlerinin S’de bulundugu (bükülmüs) Edwardse grileri ve (genel) Huff egrilerinin sonsuz ailelerini sergiliyoruz. Bu, bazı cebirsel egriler üzerindeki belirli tipteki diziler hakkında yapılmıs önceki çalısmaları geneller. Bir düzlem cebirsel egri üzerindeki rasyonel noktaların x veya y-bilesenleri ortak çarpanı r olacak sekilde bir geometrik dizi olusturursa bu egri üzerindeki rasyonel noktaların dizisi bir r-geometrik dizisi olarak adlandırılır. Tezin altıncı bölümünde x2 + y2 = 1 birim çember denklemi üzerinde en az 3-terimli r-geometrik dizilerini bulunduran sonsuz çoklukta r-rasyonel sayısının varlıgını ispatlıyoruz. Son bölümde tezdeki sonuçlar tartısılmıstır ve tez sonrası gelecek çalısmalardan bahsedilmistir. çember denklemi üzerinde en az 3-terimli r-geometrik dizilerini bulunduran sonsuz çoklukta r-rasyonel sayısının varlıgını ispatlıyoruz. Son bölümde tezdeki sonuçlar tartısılmıstır ve tez sonrası gelecek çalısmalardan bahsedilmistir.

The thesis consists of seven chapters. In the first three chapters, the fundamental notions and some important theorems are given concerning algebraic and elliptic curves. Let E be an elliptic curve over Q described by y2 = x3 + Kx + L where K; L 2 Q. A set of rational points (xi; yi) 2 E(Q) for i = 1; 2; : : : ; k, is said to be a sequence of consecutive cubes on E if the x-coordinates xi’s of these points for i = 1; 2; : : : form consecutive cubes. In the fourth chapter of the thesis, we show the existence of an infinite family of elliptic curves containing a length-5-term sequence of consecutive cubes. Morever, it has been proved that these five rational points in E(Q) are linearly independent and hence the rank r of E(Q) is at least 5. In the fifth chapter of the thesis, given a set S of elements in a number field F, we discuss the existence of planar algebraic curves over F which possess rational points whose x-coordinates are exactly the elements of S. If the size jSj of S is either 4; 5, or 6, we exhibit infinite families of (twisted) Edwards curves and (general) Huff curves for which the elements of S are realized as the x-coordinates of rational points on these curves. This generalizes earlier work on progressions of certain types on some algebraic curves. A sequence of rational points on an algebraic planar curve is said to form an r- geometric progression sequence if either the abscissae or the ordinates of these points form a geometric progression sequence with ratio r. In the sixth chapter of the thesis, we prove the existence of infinitely many rational numbers r such that for each r there exist infinitely many r-geometric progression sequences on the unit circle x2+y2 = 1 of length at least 3. In the final chapter, the results of the thesis are discussed and some problems for the future work are given.