Kromatik polinomların hesaplanmasında yeni yöntemler

Abstract

Bu tezde ele alınan graflarda renklendirme problemi, son yılların en hızlı gelişen alanlarından birisi olan graf teorinin önemli alt dallarından birisini oluşturmaktadır. Bu çalışmada, 1736 yılında ortaya atılan bir sorunun cevabının araştırılması sonucunda ortaya çıkan graf teorisinde, bir grafın köşelerinin, komşu iki köşenin aynı renkle boyanmaması şartıyla, en az kaç renkle boyanabileceği şeklinde de ifade edilebilecek olan renklendirme teorisi ele alınmıştır. Renklendirme teorisi, son yıllarda en hızlı gelişen matematik dalı olan graf teorinin önemli bir alanıdır. Köşelerin renklendirilmesi farklı yöntemlerle yapılabilir. Benzer şekilde kenarlar ve yüzleri de renklendirmek mümkündür. Tüm bu renklendirmeler, farklı uygulamalara sahiptir. Bir anlamda köşelerin renklendirilmesi, grafın etiketlendirmesi probleminin bir benzeridir. Bir grafın tüm renklendirmelerinin sayısına o grafın kromatik sayısı denilir. Renklendirme probleminde ortaya çıkan polinoma bir grafın kromatik polinomu denilecektir. Bu tezde çeşitli grafların kromatik polinomları ele alınmıştır. Beş bölümden oluşan bu tezin birinci bölümü giriş bölümüdür. Burada daha sonra kullanılacak olan kavramlar tanıtılmıştır. Ayrıca daha önce ispatlanmış kromatik polinom hesaplama yöntemlerine değinilmiştir. İkinci bölümde tezin kuramsal temelleri verilmiştir. Üçüncü bölümde tezde kullanılan materyal ve yöntemlerden bahsedilmiştir. Dördüncü bölümde ise verilen bir bağlantılı grafı belli yöntemlerle daha küçük graflara ayırma yoluyla bu grafların kromatik polinomlarının hesaplanması için yeni yöntemler elde edilmiştir. Farklı şekillerde birleştirilen grafların, Birkhoff-Lewis teoremi, köşe ve kenardan ayırma gibi yollarla kromatik polinomlarına ulaşılmıştır. Beşinci ve son bölümde ise tezin bulguları tartışılmış ve genel bir değerlendirme yapılmıştır.

The problem of coloring graphs discussed in this thesis constitutes one of the important sub-branches of graph theory, one of the most growing areas in recent years. In this study, the theory of coloring, which can be expressed as the least how many colors the vertices of a graph can be painted, provided that two adjacent vertices are painted with different colors, in the graph theory that arose as a result of the search for the answer to a question posed in 1736, is discussed. Coloring graphs is an important field in graph theory, which is the fastest growing branch of mathematics in recent years. Coloring the corners can be done in different ways. Similarly, it is possible to color edges and faces. All these colorings have different applications. In a sense, the coloring of the vertices is analogous to the problem of labeling a graph. The number of all colorings of a graph is called the chromatic number of graph. The resulting polynomial in the coloring problem will be called the chromatic polynomial of a graph. In this thesis, chromatic polynomials of various graphs are discussed. The first chapter of this thesis consistsing of five chapters is the introductory part. In this section, the concepts that will be used later are introduced. In addition, the previously proven chromatic polynomial calculation methods are mentioned. In the second chapter, the theoretical foundations are given. In chapter 3, the materials and methods used in the thesis are mentioned. In the fourth chapter, by separating a given connected graph into smaller graphs with certain methods, new methods are obtained for calculating the chromatic polynomials of these graphs. The chromatic polynomials of graphs combined in different ways have been obtained by means of the Birkhoff-Lewis theorem, corner and edge separation. In the fifth and last part, the findings of the thesis were discussed and a general evaluation was made.