Düzgün figürler ve hecke gruplarının normal altgrupları

Abstract

Bu doktora tezinde Erich Hecke tarafından 1936 yılında yayımlanan bir makalede tanımlanmış olan Hecke gruplarının normal alt grupları, düzgün figürler ile arasındaki bire bir dönüşüm yardımıyla tespit edilmiştir. Bu dönüşüm 1978 yılında Jones ve Singerman tarafından tanımlanmıştır. 1993 yılına kadar cinsi 7’ye kadar olan düzgün figürler bilindiğinden Cangül tarafından Hecke gruplarının cinsi 7’ye kadar olan normal alt gruplarının simgeleri belirlenmiş, grup yapıları ve özellikleri çalışılmıştır. 2001 yılında Conder ile Dobcsanyi cinsi 15’e kadar olan yönlendirilebilir düzgün figürleri belirlemiştir. 2006 yılında Conder’in cinsi 101’e kadar olan yönlendirilebilir düzgün figürleri tespit etmesi ile Hecke gruplarının cinsi 101’e kadar olan normal alt gruplarını çalışmak mümkün olmuştur. 2011 yılında Conder cinsi 303’e kadar olan yönlendirilebilir düzgün figürleri sınıflandırmıştır. Ayrıca 2018 yılında Delen ve Cangül tarafından tanımlanan yeni bir değişmez olan Omega değişmezinin özelliklerinden bahsedilmiş ve Hecke gruplarının normal alt gruplarının rankını bulmak için kullanılan yöntem ile arasında bir bağıntı tespit edilmiştir. Tez beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde tez ile ilgili kısa bir bilgi verilmiş ve tezin oluşumunda kullanılan tanımlara, temel kavramlara, teoremlere yer verilmiştir. İkinci bölümde teze kaynak oluşturan tarihsel kuramlardan, üçüncü bölümde ise tezde elde edilen sonuçlara ulaşmak için kullanılan matematiksel kuramlardan, teoremlerden ve yöntemlerden söz edilmiştir. Dördüncü bölüm tezin ana bölümüdür. Bu bölümde tez ile ilgili elde edilen yeni bulgular, tanım, teorem ve çıkarımlar verilmiştir. Beşinci ve son bölümde ise tez ile ilgili tartışma ve sonuçlara değinilmiş, tezin yazımına kaynak olan yeni bulguların başka alanlarda kullanılabileceğinden bahsedilmiştir.

Hecke in an article published in 1936 were determined with the help of a one-to-one correspondence between regular maps. This correspondence was described by Jones and Singerman in 1978. Since regular maps up to genus 7 were known until 1993, the signatures of normal subgroups of Hecke groups up to genus 7 were determined by Cangül, and their group structures and characteristics were studied. In 2001, Conder and Dobcsanyi classified the orientable regular maps up to genus 15. It was possible to study normal subgroups of Hecke groups up to genus 101 in 2006, with Conder's classification of orientable regular maps up to genus 101. In 2011, Conder classified all orientable regular maps up to genus 303. In addition, a new invariant, which is called Omega invariant, defined by Delen and Cangül in 2018, was defined and the properties of this invariant were mentioned and relations were determined between the rank of the normal subgroups of Hecke groups and some graph parameters. The thesis consists of five chapters. In the first chapter, a brief information about the thesis is given and the definitions, basic concepts and theorems used in the formation of the thesis are given. In the second part, the historical theories that constitute the source of the thesis, and in the third part, the mathematical theories, theorems and methods used to reach the results obtained in the thesis are mentioned. The fourth chapter is the main part of the thesis. New findings, definitions, theorems and inferences about the thesis are given in this section. In the fifth and last part, the discussion and conclusions about the thesis are mentioned, and it is mentioned that the new findings that are the source of the writing of the thesis can be used in other fields.