ℝ𝒏 öklit uzayında 𝝃-altmanifoldlarının bir karakterizasyonu

Abstract

ℝ𝑛 Öklit uzayındaki altmanifoldlar diferansiyel geometrinin önemli konularından birini teşkil etmektedir. Alan olarak, eğriler, yüzeyler ve tüm hiperyüzeyleri kapsamaktadır. Altmanifoldlar bir 𝑥 izometrik daldırma fonksiyonu yardımıyla tanımlanır. Bu fonksiyon ℝ𝑛 nin vektör değerli fonksiyon olup altmanifoldun konum vektörü olarak bilinir. Konum vektörünün özellikleri ile ilgili bugüne kadar çeşitli çalışmalar yapılmıştır. Bu vektör teğet ve normal bileşenlerine ayrıştırıldığında herbir bileşenin farklı geometrik özellikleri ortaya çıkmaktadır. Altmanifoldların önemli bir vektörü de ortalama eğrilik vektörüdür. Bu vektör sayesinde altmanifoldları karakterize etmek mümkündür. Konum vektörünun normal bileşeni ile ortalama eğrilik vektörü lineer bağımlı ise bu altmanifoldlar kendisi büzüşen (self shrinker) olarak adlandırılır. Bu tür altmanifoldlar fizikte soliton teori için oldukça önemlidir. Eğer bu iki vektör alanının toplamı bir ksi vektör alanı olarak ifada edilirse bu tür altmanifold ksi-altmanifoldu olarak ifade edilir. Rotasyon ve toroidal altmanifoldları modern diferansiyel geometride önemli bir yere sahiptir. Özellikle ℝ3 de rotasyon yüzeyleri bilgisayar destekli geometrik tasarımda oldukca onemlidir. 4-boyutlu Öklit uzayında rotasyon yüzeyleri zengin bir sınıf oluşturmaktadır. Bu çalışmada ℝ𝑛 Öklit uzayındaki rotasyon altmanifoldlarının ksi-altmanifoldu olmaları durumu ele alınmıştır.

Submanifolds in ℝ𝑛 Euclidean space constitute one of the important topics of differential geometry. In this area, it includes curves, surfaces, and all hypersurfaces. Submanifolds are defined with the aid of an isometric immersion 𝑥. This function is a vector valued function on ℝ𝑛 and is known as the position vector of the submanifold. Various studies have been carried out on the properties of the position vector. When this vector is decomposed into its tangent and normal components, different geometric properties of each component emerge. An important vector of submanifolds is the mean curvature vector. Thanks to this vector, it is possible to characterize submanifolds. If the normal component of the position vector and the mean curvature vector are linner dependent, these submanifolds are called self-shrinking. Such submanifolds are very important for soliton theory in physics. If the sum of these two vector fields is expressed as a xi vector field then the submanifold is expressed as the xi-submanifold. Rotation and toroidal submanifolds have an important place in modern differential geometry. Especially in ℝ3, rotation surfaces are very important in computer aided geometric design. In 4-dimensional Euclidean space, rotation surfaces form a richclass. In this study, the case of rotation submanifolds in ℝ𝑛 Euclidean space as xi-submanifolds is discussed.