Diophant denklemleri ve eliptik eğriler

Abstract

Bu tezde, iki özel iki değişkenli ve üçüncü dereceden Diophant denklem sınıfı ele alınmıştır. Bunlar Bachet ve Frey eliptik eğrilerine karşılık gelen Diophant denklemleridir. Eliptik eğriler için daha önce elde edilmiş olan sonuçlardan faydalanarak ve bunlara yenilerini ekleyerek karşılık gelen Diophant denklemlerinin çözümleri ile ilgili birçok sonuç belirlenmiştir. Basitleştirilmiş Weierstrass denkleminin özel birer hali olan y2=x3+a3 Bachet eliptik eğrileri ve y2=x3-n2x Frey eliptik eğrileri üzerindeki rasyonel noktaların sayısı, bu noktaların mertebeleri ve bu eğrilerin grup yapıları incelenmiştir. Eliptik eğri üzerindeki rasyonel noktalar, karşılık getirilen Diophant denklemlerinin çözümlerine karşılık geldiğinden bu elde edilen sonuçlar aynı zamanda bu Diophant denklemlerinin de çözümleri için de geçerli olurlar. Tezin sıfırıncı ve birinci bölümlerinde, çalışmanın ikinci ve üçüncü bölümlerine temel oluşturacak kavramlar verilmiştir. Diophant denklemi ve eliptik eğri kavramları tanımlanmış ve aralarındaki ilişkiler ele alınmıştır. İkinci bölümde Bachet ve Frey Diophant denklemlerinin çözüm sayıları ile ilgili bazı sonuçlar verilmiştir. Üçüncü bölümde ise tanımlanan toplama işlemine göre bu denklemlerin çözüm kümelerinin grup yapıları ele alınmıştır.

In this thesis, two special classes of two variable cubic Diophantine equations, called Bachet and Frey equations, are considered in relation with some elliptic curve classes. A new set of results related to the solutions of Diophantine equations corresponding to the ones obtained for elliptic curve classes is given. The number of rational points on Bachet elliptic curves y2=x3+a3, and Frey elliptic curves y2=x3-n2x, which are just some special cases of simplified Weierstrass equation; their orders, and the group structure of them are considered. As the rational points on elliptic curves correspond to the solutions of the Diophantine equations, the results obtained for elliptic curves are also valid for the corresponding Diophantine equations. In the first two chapters, the preliminary information necessary for the second and third chapters are recalled. The notions of Diophantine equations and elliptic curves are defined and the relations between them are obtained. In the second chapter, some results concerning the number of rational points on Bachet and Frey elliptic curves are given. In the third chapter, the group structure of the solution sets of these Diophantine equations under the addition operation are considered.