Ayrık gruplar ve kuadratik formlar

Abstract

Dört bölümden oluşan bu çalışmada ayrık gruplar, kuadratik formlar, ayrık gruplar ile kuadratik formlar arasındaki ilişkiler ve idealler ile kuadratik formlar arasındaki bağıntılar ele alınmıştır. Birinci bölümde ilerideki bölümlere hazırlık olması açısından ayrık gruplar, kuadratik formlar ve idealler ile ilgili bazı temel kavramlara yer verilmiştir. İkinci bölümde modüler grubun ve genişletilmiş modüler grubun özel ve temel denklik alt gruplarının simgeleri ele alınmıştır. Bu bölümde Harding (1985) in modüler grubun Uq(p) özel ve U(p) temel denklik alt grupları için elde ettiği simgeler verilmiştir. Ayrıca bu bölümde, Hoare&Uzzeîi Teoremi kullanılarak genişletilmiş modüler grubun Uq(p) özel denklik alt grubunun simgesi başka bir yolla elde edilmiştir. Üçüncü bölümde kuadratik formlar geniş bir şekilde ele alınmıştır. Bu bölümde ilk olarak m i. 2 tamsayısı için taban noktalan x =doğrusu üzerinde olan m kuadratik formlar ele alınmış ve bu formların bazı temel özellikleri verilmiştir. Benzer işlemler taban noktalan orijin merkezli ve - yançaplı çemberler üzerinde olan m kuadratik formlar için yapılmıştır. Pozitif determinantlı formlar üzerinde durulmuştur. Herhangi bir pozitif determinantlı form verildiğinde bu formun indirgenebilir obua şarü verilmiş, üstelik verilen formun indirgenebilir olmaması durumunda bu formun indirgenebilir hale nasıl getirilebileceği gösterilmiştir. Verilen bir A determinantı için deteraıinantî A olan tüm indirgenmiş formların nasıl elde edilebileceği verilmiştir. Son olarak indirgenebilir F - (a,b,c) formunun devirinin nasıl elde edildiği gösterilmiştir. Tamsayıların kuadratik formlar ile gösterilmesi problemi üzerinde durulmuştur. Bu kısımda, ikinci bölümde elde ettiğimizi genişletilmiş modüler grubunun n0(p) Özellî denklik ait grubunun simgelerine bağlı olarak kuadratik formlar tanımlanmış ve bu formlar ile tüm tamsayıların gösterilebileceğini ispatlanmıştır. Bununla beraber değişik kuadratik formlar tanımlanarak bu formların bazı özellikleri elde edilmiş ve yine bu formlar ile tüm tamsayıların gösterilebileceği ispatlanmıştır. x2 - Dy2 = ±1 Pell denkleminin çözümleri ele alınmış ve bu çözümlere ait bir formül verilerek denklemin çözümleri arasında bazı bağıntılar elde edilmiştir. -47 determinantlı Fx = (1, 1, 12) ve Gx = (3, î, 4) kuadratik formları ele alınarak bu formlar ve bu formların direkt toplamları ile ilgili sonuçlar verilmiştir. Bu direkt toplamlardan faydalanarak S4(r0(47),l) uzayı için bir baz teşkil edilmiş ve bu bazın elemanları kullanılarak tam sayıların yukarıdaki formlar ve bu formların direkt toplanılan ile gösterilmesi ile ilgili bağıntılar elde edilmiştir. Bu bölümde son olarak idealler ve kuadratik formlar ile ilgilenilmiştir. Bu bölümde ilk olarak I = [Q,P + Jd] idealinin bazı özellikleri elde edilmiş ve devirinin nasıl olacağı belirtilmiştir. Daha sonra bu ideale bağlı olarak kuadratik formlar tanımlanmış ve bu formların bazı özellikleri elde edilmiştir. Son olarak idealin devirini kullanarak formun devirinin nasıl elde edilebileceği gösterilmiştir. Dördüncü bölümde Hermitian formlar, Picard grubu ve bu ikisi arasındaki ilişkiler ele alınmıştır. Bu bölümde ilk olarak Picard grubu ile Hermitian formlar arasındaki ilişki ele alınmıştır. Daha sonra ise tam sayıların Hermitian formlar ile gösterilmesi problemi üzerinde durulmuştur. Her bir tamsayının sonsuz çoklukta birim Hermitian form ile gösterilebileceği, üstelik bu gösterimin Hermitian forma karşılık gelen çemberin merkezine bağlı olduğu, yarıçapları aynı olan çemberlerin birbirlerine denk oldukları ve dolayısıyla herhangi bir tamsayıyı gösteren (denklik anlamında) bir tek birim Hermitian formun olduğu gösterilmiştir. Ayrıca değişik Hermitian formlar tanımlanarak yine bu formlar ile tüm tamsayıların gösterilebileceği verilmiştir.

In this study, we consider the discrete groups, quadratic forms, and the relationship between these two structures, and also the relationship of the latter with ideals. In the first section, we give some definitions and properties concerning discrete groups, quadratic forms and ideals which we need in later sections. In the second section, we consider the signatures of the principal and special congruence subgroups of the modular and extended modular groups. For a primes, the signatures of the special congruence subgroups Tl0(p) and the principal congruence subgroups Tl(p) of the modular group, which was obtained by Harding (1985), are recalled. Then we obtained the signatures of the special congruence subgroups TlQ(p) of the extended modular group using the Hoare&Uzzell Theorem. In the third section, we deal with the quadratic forms. First we consider the quadratic forms whose base points lie on the line x =for m 1 2. We obtain some m properties of these quadratic forms. Later, we consider the quadratic forms whose base points lie on the circle centered at (0, 0) with radius - for m > \, and obtain some m properties of these forms. We then consider the quadratic forms which has positive discriminant. We give some properties of these forms. Given any positive discriminant A, a method of obtaining the reduced quadratic forms is given. Moreover, the cycle of a reduced indefinite quadratic form is given. We consider the representation of integers by quadratic forms. To get this, first we obtain the quadratic forms related to the signatures of the special congruence subgroups II0(p) of the extended modular group, which are obtained in the second section, and we proved that every positive integer can be represented by each of these quadratic forms. Furthermore, we define some specific quadratic forms, and we again proved that every positive integer can be represented by these quadratic forms.IV We consider the solutions of the Pell equation x2 -Dy2 = ±1. We obtain a formula and a recurrence relation for the solutions of the Pell equation x2 - Dy2 = ±1. We consider the quadratic forms Fl =(1,1, 12) and Gl = (3, 1, 4) of discriminant -47. We obtain the formulae for the quadratic forms Fx = (1, 1, 12) and Gx = (3, 1, 4) and their direct sums. Using these, we obtain a basis for the cusp form space S4 (r0(47),l), and then we obtain the formulae for the representation of positive integers by these quadratic forms and their direct sums. Finally in the sixth subsection, we consider the ideals / = [Q,P + ^JD] and the relationship between these ideals and quadratic forms. We obtain some properties of these ideals and obtain a formula for the cycle of them. We define quadratic forms which are obtained from the ideal I = \Q,P + 4d], and obtain some properties of these forms. Moreover, a formula for the cycle of the quadratic forms is obtained using the cycle of the ideal. In the fourth section, we deal with the Picard group, Hermitian forms and the relationship between these two notions. First, we consider the relationship between Picard group and Hermitian forms. Later, we define the unit Hermitian form, and then we prove that every positive integer can be represented by this unit Hermitian form. Moreover, we proved that given any positive integer n, there exist infinitely many unit Hermitian forms representing n. We proved that since the circles with same radius are equivalent under the Picard group, and also, given any positive integer n, there exists a unique unit Hermitian form, up to equivalency, representing n.