İkinci mertebeden adi diferensiyel denklemlerin ilk integralleri

Abstract

Bu tez yedi bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. Burada fiziksel anlamları haiz olan ilk integrallerin fiziksel anlamı vurgulanıp, hangi alanlarda müşahede edilebileceği kısaca açıklanmıştır. Bu tezde, ilk integrallerin fiziksel anlamlarından ziyade, onlara tanımdan hareketle, göz önüne alınan fiziksel olayı modelleyen ikinci mertebeden adi diferensiyel denklemlerin (ADD) bir mertebe indirgenmesi nazarıyla bakacağız. İkinci bölümde, ikinci mertebeden ADD'lerin ilk integrallerini elde etmek için kullanılacak temel tanım, teorem ve operatörler kısaca tanıtılmıştır. Üçüncü bölümde, ilk integralleri oluşturmada konuyla alakalı açık literatürde bulunan metotlar ayrıntılı bir şekilde irdelenmiştir. Bunlar temel olarak üç kısma ayrılmaktadır: 1) Doğrudan metot, 2) Lagrangian veya kısmi Lagrangian formülasyonları ve 3) Karakteristik (çarpanlar) yaklaşımlardır. Dördüncü bölümde, ısı transferi alanında oldukça önemli bir yere sahip olan Palet denkleminin ilk integralleri elde edilmeye çalışılmıştır. Bunun için Lagrangian ve kısmi Lagrangian metotları uygulanmıştır. Beşinci bölümde, Riemann sıfırlarına karşılık gelen H=y(p+(l_p^2)/p) Hamiltonian modeli için elde edilen ikinci mertebeden özel bir ADD'in ilk integralleri integral çarpanı, Ibragimov'un yerel olmayan korunum metodu ve karakteristik (çarpan) metotları ile ayrı ayrı elde edildi. Altıncı bölümde, akışkanlar mekaniğinde çatlak kuvvetinin minimize edilmesinde modellenen özel bir ikinci mertebeden lineer olmayan ADD'in ilk integralleri, Lagrangian formülasyonları ile elde edilmiştir. Yedinci bölüm sonuçlar kısmına ayrılmıştır.

This thesis consists of seven chapters. The first chapter is devoted to the introduction. We emphasized the physical meanings of the first integrals. We noted also some examples from some diverse fields about first integrals (conservation laws). In this thesis, we will attempt first integral as a mathematical point of view. In this manner, we introduce first integrals as order reduction of the considered equations rather than some physical meanings such as energy, momentum and so on. In the second chapter, we introduce some basic definitions theorems and operators related with second order ordinary differantial equations (ODEs). In the third chapter, we described indetail some methods existing in the open literatüre. In essence, these methods devoted three parts: 1)Direct method, 2) Lagrangian or partial Lagrangian formulations, 3) Characteristic (multiplier) approaches. The fourth, fifth and sixth chapters are devoted to applications. In the fourth chaper, we construct first integrals of the fin equation which has important placemant in the field of heat transfer area. For this aim, Lagrangian and partial Lagrangian methods are implemented to fin equation. In the fifth chapter, we apply the integrating factor, Ibragimov's nonlocal conservation method and multiplier approaches to the one special second order ODE which is obtained from the H=y(p+(l_p^2)/p) Hamiltonian corresponding to the Riemann zeros, separetely. In the sixth chapter, we implement the Lagrangian formulations to the path equation which observed in the fluid mechanics. In the seventh chapter, concluding remarks are given.