Hiperanalitik fonksiyonlar

Abstract

Bu çalışma, iki bağımsız değişkenli birinci mertebeden lineer eliptik sistemlerin esasen yapı ve özellikleri bakımından Beltrami denklemlerine benzeyen, denklem sistemlerinin fonksiyon teorisindeki problemlerle alakalıdır. A. Douglish bir cebir ve 2r + 2 bilinmiyenli 2r + 2 denklemden oluşan ve Genelleştirilmiş Beltrami Sistemi denilen bir sistemi sağlayan bir fonksiyon sınıfı tanımlamıştır (Genelleştirilmiş Beltrami Sistemleri, tüm denklemleri homojen ve ayrıca bağımlı değişkenlere göre sıfırıncı mertebeden terimler ihtiva etmeyen kanonik sistemlerdir, r = 0 için böyle sistemler orjinal Beltrami denklemlerine denktir.). Douglish' in tanımladığı cebirde böyle denklem sistemleri bir tek "hiperkopleks denklem" ile temsil edilebilirler. Böyle denklemlerin çözümlerine hiperanalitik fonksiyon denir. Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, analitik fonksiyonların yüksek boyutlu benzerini veren, A. Douglish tarafından çalışılmış fonksiyon sınıflarına ayrılmıştır. ikinci bölümde, Douglish operatörü Sobolev anlamında tanımlanmış ve Hiperkompleks Pompieu operatörünün bazı özellikleri incelenmiştir. Üçüncü bölümde ise, daha düşük mertebeden terimlerin bulunduğu sistemler için Vekua teorisi verilmiştir.

This work is concerned with problems in the function theory of elliptic systems of linear, first order equations in two independent variables, chifly with systems of equation which are closely analogous to Beltrami equations in their sturucture and in their properties. A. Douglish introduced an algebra and a class of functions which satisfy a systems 2r + 2 equations with 2r + 2 unknows, called Genaralized Beltrami systems (The Genaralized Beltrami systems are the canonical systems that are entirely homegeneous, in the sense that the equations are homegeneous and moreover, contain no terms of zero-th order in the dependent variables. For r = 0 such a system is equivalent to the original equations of Beltrami). İn Douglish's algebra these systems of equations can be represented by single "hypercompleks equations". Solutions of such equations are termed hyperanalytic functions. This work contains three chapter. The first chapter is devoted to the class of functions studied by Douglish which gives us higher order analogs of analytic functions. In chapter 2, Douglish operator is defined in Sobolev sense and some properties of hyperkomplex pompieu operator. İn chapter 3, we give a Vekua theory for the systems in which lower order terms are present.