Örtü uzayları ve örtü transformasyonları grubu

Abstract

Üç bölümden oluşan bu çalışmada örtü uzayları ile ilgili bir çok topolojik özelliklerin bu uzayların temel grupları ile ilgili cebirsel özelliklerle irtibatı ele alınmış ve örtü uzayları incelenmiştir. Birinci bölümde ilerideki bölümlerde kullanacağımız bazı cebirsel ve topolojik kavramlara ve önermelere yer verilmiştir. İkinci bölümde X in (X,p) örtü uzayının özelliklerine, eğrilerin ve keyfi dönüşümlerin örtü uzayına yükseltilmesine, n(X,x) temel grubuna, A(X,p) otomorfizm grubuna ve bu grubun p~x{x) kümesi üzerindeki etkisine, örtü uzaylarının homomorfizmlerine ve otomorfizmlerine, evrensel, regüler ve Galois örtü uzaylarına yer verilerek bu uzaylar arasındaki ilişkiler incelenmiştir. Ayrıca örtü uzayları arasındaki ilişkilere yer verilerek evrensel örtü uzayının regüler, regüler örtü uzayının da Galois olduğu gösterilmiştir. Özellikle (Xx,px) ve (X2,p2) nin X in evrensel iki örtü uzayı olması halinde bu iki örtü uzayının, n(Xx,xx) ve x(X2,x2) temel gruplarının ve A{Xx,px) ve A(X2,p2) otomorfizm gruplarının izomorf olduğu ve (X,p) nin X in evrensel örtü uzayı olması halinde A(X,p) otomorfizm grubunun X da süreksiz olarak etki ettiği ve özdeş olmayan ç>eA(X,p) otomorfizminin sabit noktasının olmadığı gösterilmiştir. Son bölümde ise Riemann yüzeyi tanımı yapılarak Riemann yüzeylerinin bir sınıflandırılmasına yer verilmiştir ve Riemann yüzeylerinin örtü yüzeyleri incelenmiştir. Ayrıca dallanmalı, dallanmasız, sınırsız, pürüzsüz, normal, tam ve homoloji örtü yüzeyleri incelenmiştir.

Consisted of three section in this study we have seen that many basic topological questions about covering spaces can be redused to purely algebraic questions about the fundamental group of the spaces. In the first section we have given some definitions and propositions from general and algebraic topology which we need in later sections. In the second section we examine the proporties of covering space (X,p) of X, lifting of paths and arbitrary maps to covering space, the fundamental group n(X, x), the automorphism group A(X,p) of the covering space (X,p), the action of A(X,p) on the set p~x (x), the homomorphism and the automorphism of covering spaces, universal, regular and Galois covering spaces. Morever the relationship among these covering spaces are discussed. Morever we have seen that the universal covering space is regular and the regular covering space is Galois, if (Xx,px) and (X2,p2) are the universal covering spaces of X then these covering spaces, the fundamental groups k(Xx,xx) and tt(X2,x2), where xx e Xx, x2 e X 2 and the automorphism groups A(Xx,px) and A(X2,p2) are isomorphic, if (X,p) is the universal covering space of X then the automorphism group A{X,p) acts discontiniously on X and non-identy.