Kuadratik formlar ve idealler

Abstract

Üç bölümden oluşan bu tezde kuadratik formlar, idealler ve bu ikisi arasındaki ilişkiler ele alınmıştır. Birinci bölümde ilerideki bölümlerde kullanacağımız kuadratik formlar ve idealler ile ilgili bazı temel kavramlara yer verilmiştir. İkinci bölümde geniş bir biçimde kuadratik formlar ele alınmıştır. Bu bölümde ilk olarak pozitif tanımlı kuadratik formlar üzerinde durulmuş ve bu formlar ile ilgili bazı sonuçlar verilmiştir. Bu formların indirgenebilir olma koşulu verilerek, indirgenemeyen formların nasıl indirgenebilir hale getirilebileceği belirtilmiştir. Bunun yanında yine bu bölümde pozitif determinantlı kuadratik formlar üzerinde durulmuştur ve bu formların bazı özellikleri verilmiştir. Bu formların indirgenebilir ve normal olma koşulları verilerek bu ikisi arasındaki bağıntı ortaya konmuştur. Ayrıca verilen indirgenemeyen veya normal olmayan bir formun nasıl indirgenebilir veya normal hale getirilebileceği belirtilmiştir. Pozitif determinantlı formların devirleri ve asıl devirleri verilerek verilen bir A determinantı için determinantı A olan indirgenmiş tüm formların elde edilmesine ilişkin bir yöntem verilmiştir. Son olarak bu bölümde pozitif determinantlı kuadratik formların sağ ve sol komşulukları üzerinde durularak bu ikisi ile ilgili bazı sonuçlar elde edilmiştir. Üçüncü bölümde idealler ve kuadratik formlar ele alınmıştır. Bu bölümde ilk olarak idealler tanımlanarak bu ideallere bağlı olarak kuadratik formlar tanımlanmış bu formların bazı temel özellikleri verilmiştir. Ayrıca bu kısımda kesirli ve indirgenebilir idealler ile kuadratik formlar arasındaki bağıntı verilmiştir. Yine bu kısımda bazı özel kuadratik formların ve ideallerin devirlerine ait formüller verilmiştir.

In this work, we consider some properties of quadratic forms and ideals. Also, we give the relationship between these two structures. In the first section, we give some definitions and properties concerning quadratic forms and ideals. In the second section, we consider the quadratic forms extensively. First we consider the positive definite quadratic forms. We give some properties of these forms. We define the reduced forms and normal forms and give a formula for how we get the reduced forms and normal forms from non-reduced and non-normal forms, respectively. Later we consider the indefinite quadratic forms and give some properties of them. We give a formula for the cycle and proper cycle of reduced indefinite forms. Moreover, given any positive discriminant A, we obtain the set of all reduced indefinite forms of discriminant A. Furthermore, we define the right and left neighbor of a indefinite quadratic form, and we give some properties concerning right and left neighbor of indefinite forms. In the last section, we consider the ideals and the relationship of them with quadratic forms, which are obtained from ideals. Moreover, the relationship between fractional and reduced ideals is given. Furthermore, a formula for the cycle of special quadratic forms and ideals is obtained.