Genelleştirilmiş Q-holomorf fonksiyonlar

Abstract

Cauchy Riemann sistemiyle kompleks analitik fonksiyonlar arasındaki ilişki, bir çok matematikçi tarafından daha genel eliptik genişletilmiş ve analitik fonksiyonların yüksek boyutlu benzerleri elde edilmiştir. Bu doğrultudaki çalışmalar Douglish (1953), Bojarskii (1966) ve Hill (1982) tarafından yapılmıştır. Hill'in çalışması, Douglish ve Bojarskü'nin çalışmalarını genelleştirir. Keza Douglis ve Bojarskii teorisi kullanılarak sıfirıncı mertebeden terimleri ihtiva eden denklemler Bers ve Vekua anlamında incelenmiştir. Hill, w mxs ve Q mxm-tipinde kendi değişmeli bir matris olmak üzere, w,-ow,=0 (1) denklemini ele almıştır*. Bu matris denklemin çözümlerine Ö-Holomorf fonksiyon denir. Bu çalışmada, sıfirıncı mertebeden terimlerin bulunduğu wz - Qy*z - Aw + Bw (2) denklemi Bers anlamında incelenmiştir. Çalışma dört bölümden ibarettir. Birinci bölüm, 0-Holomorf fonksiyonlara ayrılmıştır. İkinci bölümde (2) denklemi için bileşenleri z nin fonksiyonları olan matrisler için Sobolev anlamında genelleştirilmiş türevler ve Pompieu operatörü tanımlanmıştır. Çalışmanın esasını teşkil eden üçüncü ve dördüncü bölümlerdir. Üçüncü bölümde kendi ve Q ile değişmeli matrislerin arasındaki ilişki verilmiş, dördüncü bölümde ise (2) denklemi için Bers teorisine benzer bir teori geliştirilmiştir.

The connection between Cauchy Riemann system and analytic function have been extended to the more general elliptic systems and obtained the higher order analogs of analytic functions by some mathematicians. Studies in this direction have been made by Douglish (1953), Bojarskii (1966) and Hill (1982). Hill's study generalizes Douglish and Bojarskii' s studies. Also Dauglish and Bojarskii theory has been used to study the more general elliptic systems which involves in lower order terms in the sense of Bers and Vekua. Hill deals with equation of form Wz-ewz=0 (1) where Q is mxm-type self-commuting matrix and w is mxs-type matrix. The solutions of this matrix equation is called ö-holomorphic function. In this study, we consider the equation w? - Qwz = Aw + Bw (2) which involves in lower order terms in the sense of Bers. This study consist of four chapters. First chapter is devoted to ö-holomorphic functions In the second chapter, we define the generalized derivatives in the sense of Sobolev and Pompieu operator for the matrix of which elements are the function of z. The thirth and fourth chapter consist of the main part of this study. In the mirth chapter, we give the connections between self-commuting matrix and matrix having the property of commuting with Q. In the fourthy chapter, we devoloped a function theory similar to Bers's theory for die equation (2).