Diferansiyel, integral ve integrodiferonsiyel denklemlerin yaklaşık çözümü için taylor matris yöntemi ve fizikte uygulamaları

Abstract

Diferansiyel, integral ve integrodiferansiyel denklemler, fizik ve mühendislik dallarında matematiksel model olarak ortaya çıkar. Bunların analitik çözümü zordur. Bu nedenle verilen koşullar altında böyle denklemlerin Sonlu Taylor serisi (Taylor polinomları) cinsinden yaklaşık çözümlerini bulmak için Taylor -Matris adı verilen bir yöntem geliştirilmiştir. Yöntem, önce denklem içindeki fonksiyonların kesilmiş Taylor seri açılımlarının alınmasına ve sonra bunların matris gösterimlerinin sonuç denklemde yerine konulmasına dayandırılır. Burada elde edilen matris denklemi, (ki bu bilinmeyen Taylor Katsayılı bir cebrik denklem sistemine karşılık gelir) bilinen yöntemlerle çözülür. Birinci bölümde, bu konuda önceki çalışmalar tanıtılmıştır. İkinci bölümde, ikinci mertebeden lineer diferansiyel ve integro diferansiyel denklemler ile Fredholm türü integral denklemler matris denklemine dönüştürülür. Üçüncü bölümde, Taylor-Matris yöntemi sunulur ve çözümün doğruluğunu kontrol etmek için bir yöntem önerilir. Dördüncü bölümde, yöntem, matematiksel fizikte karşılaşılan bazı problemlere uygulanılır, sonuçlar tartışılır.

Differential, integral and integrodifferential equations arise as a mathematical model in many fields of physics and engineering. The analytic solutions of these are usually difficult. Because of this, a matris method called "Taylor Matrix Method" for solving such equations under the given conditions in terms of trancated Taylor series is developed. The method is based on, first, taking the truncated Taylor series expansions of the functions in equation and then substituting their matrix forms into the result equation. Here, the obtained matrix equation, which corresponds to a system of linear algebraic equations with unknown Taylor coefficients, is solved by known methods. In the first chapter, the previous studies are mentioned. In the second chapter, the second order differential and integrodifferen tial equations and Fredholm integral equations are transformed to matrix equations. In the third chapter, the Taylor Matrix Method is presented and a method is proposed to check the accuracy of solutions. In the fourth chapter, the method is applied to some problems compared in mathematical physics ; the results are discussed.