Hiperkompleks monojen ve bölgesel monojen fonksiyonlar

Abstract

Dört bölüm halinde düzenlenen bu çalışmanın amacı P4(Dx,Dy)u = (a0Dx4 +a1Dx3Dy + a2D2Dy + a3DxDy + a4D> = 0 denklemi ile eşlenen A4 cebrini gözönüne alarak P42(Dx5Dy)u = (a0D^+a1D^Dy+a2D^Dy+a3DxD5+a4D;)2u = 0 denklemi için fonksiyon teori vermektir. "Birinci bölümde A4 cebri ve bu cebir değerli hiperkompleks monojen fonksiyonlar tanımlanmış ve bunların bilinen bazı özellikleri verilmiştir. İkinci bölümde A4 cebrinde bazı diferensiyel denklemlerin çözümleri olarak hiperkompleks üstel, hiperbolik, trigonometrik ve logaritmik fonksiyonlar tanımlanmıştır. Bu fonksiyonların, kompleks üstel, hiperbolik, trigonometrik fonksiyonlardakine benzer özellikleri sağladığı gösterilmiştir. Çalışmanın esasını teşkil eden üçüncü bölümde A4 cebrinde bileşenleri Pl (Dx,Dy)u=0 denklemini sağlayan bir fonksiyon sınıfı tanımlanmıştır. Hiperkompleks bölgesel monojen fonksiyonlar denilen bu fonksiyonların bazı özellikleri verilmiştir. Dördüncü bölümde ise birinci ve üçüncü bölümlerdeki yöntemlerin tek mertebeden denklemlere de uygulanabileceği gösterilmiştir.

This work consist of four chapters and aims to consider the algebra A4 associated with the equation P4(Dx,Dy)u = (*eD4x+*1DlD,+v.3DlDl+a.ppl +a,D> = 0 and to give a function theory for the iterated equation P42(Dx,Dy)u = (ct0Dx +*p\Dy + a2D2Dy +a3DxDy +a4D4y)2u = 0. In the first chapter the algebra A4 and the hypercomplex monogen functions with the values from this algebra are defined and some of their well-known properties are given. In the second chapter some hypercomplex functions such as exponential, hyperbolic, trigonometric and logarithmic are defined as the solutions of some differential equations in the algebra A4. That these functions satisfy similar properties to complex exponential, hyperbolic, trigonometric functions, is shown. In the third chapter which forms the main parts of this work, a function class is defined so that its components satisfy the equation Pi (Dx,Dy)u=0. Some properties of the solutions of these equations which are called hypercomplex areolar monogen functions are given. In the fourth chapter, it is shown that the methods given in the first and third chapters could be also applied to the equations of odd order.