Ayrık logaritma problemi

Abstract

Bu çalışmada ayrık logaritma problemi ve bu problemin çözümleri ele alınmış ve eliptik eğri ayrık logaritma problemini daha kolay bir ayrık logaritma problemine dönüştüren algoritmalar verilmiştir. Birinci bölümünde cebir ve sayılar teorisi ile ilgili temel kavramlar verildikten sonra kriptoloji ile ilgili temel kavramlar üzerinde durulmuştur. İkinci bölümde ayrık logaritma problemi ve bu problemin çözümünde kullanılan çeşitli algoritmalar ele alınmıştır. İlk olarak Diffie ve Hellman anahtar değişimi algoritması ele alınmış ve El-Gamal açık anahtar kriptosistemleri üzerinde durulmuştur. Daha sonra problemin çözümü için çeşitli algoritmalar verilmiştir. Üçüncü bölümde eliptik eğriler ve eliptik eğri ayrık logaritma problemi ele alınmıştır. Bu bölümde ise eliptik eğri ayrık logaritma problemini bir ayrık logaritma problemine dönüştüren algoritmalar verilmiştir. Dördüncü bölümde ise bir eliptik eğrinin bölüm polinomları kavramı kullanılarak benzer algoritmalar verilmiştir.

In this work, the discrete logarithm problem and solutions of this problem are disscused and the algorithms are given to reduce the elliptic curve discrete algorithm problem to an easier discrete logartihm problem. In the first chapter, some fundamental concepts on the theory of algebra and number theory and cryptography are given. In the second chapter, the discrete logarithm problem and the algorithms that used for the solutions of this problem are disscused. Firstly, Diffie and Hellman key exchange algorithm is considered and the El-Gamal public key cryptosystem is discussed. Then some algorithms are given for solving the discrete logarithm problem. In the third chapter, elliptic curves and elliptic curve discrte logarithm problem are considered. In this chapter, some algorithms are given to reduce the elliptic curve discrete algorithm problem to a discrete logartihm problem. In the fourth chapter, similar algorithms are given by using the division polynomials of an elliptic curve.