Genelleştirilmiş balans sayıları

Abstract

Bu çalışmada tamsayı dizilerinde yeni bir kavram olan t −balans sayıları ele alınmış ve bu sayıların bazı cebirsel özellikleri verilmiştir. Ayrıca bu sayıların Pell, Pell-Lucas, diğer balans sayıları ve kare üçgensel sayılar ile olan ilişkisinden bahsedilmiştir. Tezin birinci bölümünde, daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı temel kavramlara, notasyonlara ve teoremlere yer verilmiştir. İkinci bölümde, balans sayıları, bu sayıların bazı cebirsel özellikleri, Pell ve Pell-Lucas tamsayı dizileri ile olan ilişkisi, balans sayılarının katsayılar matrisi ve bu matris ile ilgili bazı cebirsel bağıntılar ve balans fonksiyonlarından bahsedilmiştir. Tezin üçüncü bölümü orijinal çalışma olup bu bölümde ilk olarak 2x2 − y2 = 2t 2 −1 Pell denkleminin tüm pozitif tamsayı çözümleri elde edilmiş ve daha sonra t −balans sayılarının genel terimleri ve bu sayıların Binet fromülleri verilmiştir. Daha sonra t − balans sayılarının balans, Pell, Pell-Lucas ve kare üçgensel sayılar ile olan ilişkisi üzerinde durulmuştur.

In this work, some algebraic properties of generalized balancing numbers, namely t −balancing numbers and their relationships with Pell, Pell-Lucas and square triangular numbers are considered. In the first section, some preliminary notations, definitions and theorems which are to be used in later sections are given. In the second section, balancing numbers, their some algebraic properties, their relationships with Pell and Pell-Lucas numbers, companion matrices and some specific balancing functions are considered. In the third section which is the original part of the thesis, we first determine the set of all positive integer solutions of the Pell equation 2x2 − y2 = 2t 2 −1. Later we obtain the general terms of all t −balancing numbers, their Binet formulas. We also deduce some theorems concerning the relationships between t −balancing numbers and Pell, Pell- Lucas and square triangular numbers.