Pell denklemleri ve pell formlarının otomorfizmleri

Abstract

Bu çalışmada 𝑘 ≥ 2 tam sayısı için 𝑑 = 𝑘² + 4 olmak üzere Δ = 4𝑑 diskriminantlı 𝐹Δ (𝑥, 𝑦) = 𝑥² − 𝑑𝑦 ² Pell formlarının tüm otomorfizm kümeleri elde edilmiştir. Daha sonra ise bu Pell formdan faydalanarak 𝐹Δ (𝑥, 𝑦) = ±1 ve 𝐹Δ (𝑥, 𝑦) = ±𝑘² Pell denklemlerinin tüm tam sayı çözümleri kümesi belirlenmiştir. Birinci bölümde kuadratik formlar, bu formların bazı temel özellikleri, Pell denklemleri ve balans sayıları hakkında genel bir bilgi verilmiştir. İkinci bölümde materyal ve yöntem belirtilmiştir. Üçüncü bölüm tezin orijinal kısmı olup bu bölümde, 𝑘 ≥ 2 tam sayısı için 𝑑 = 𝑘²+ 4 olmak üzere Δ = 4𝑑 diskriminantlı 𝐹Δ (𝑥, 𝑦) = 𝑥²− 𝑑𝑦 ² Pell formu tanımlanarak bu formların tüm otomorfizm kümeleri belirlenmiştir. Daha sonra ise bu Pell formdan faydalanarak 𝐹Δ (𝑥, 𝑦) = ±1 ve 𝐹Δ (𝑥, 𝑦) = ±𝑘² Pell denklemlerinin tüm tam sayı çözümleri kümesi elde edilmiştir. Dördüncü bölümde ise sonuç verilmiştir.

In this thesis, the set of all automorphisms of the Pell forms 𝐹Δ (𝑥, 𝑦) = 𝑥² − 𝑑𝑦² of discriminant Δ = 4𝑑, where 𝑑 = 𝑘² + 4 for some positive integer 𝑘 ≥ 2 is determined. Later the set of all integer solutions of the Pell equations 𝐹Δ (𝑥, 𝑦) = ±1 and 𝐹Δ (𝑥, 𝑦) = ±𝑘² is obtained. In the first section, some notations and definitions on quadratic forms, some fundamental properties of quadratic forms, Pell equations and balancing numbers are given. In the second section, the material and method are given. In the third section, which is the original part of the thesis, the set of all automorphisms of Pell forms 𝐹Δ (𝑥, 𝑦) = 𝑥²− 𝑑𝑦² of discriminant Δ = 4𝑑, where 𝑑 = 𝑘² + 4 for some positive integer 𝑘 ≥ 2 is determined. Later the set of all integer solutions of the Pell equations 𝐹Δ (𝑥, 𝑦) = ±1 and 𝐹Δ (𝑥, 𝑦) = ±𝑘² is obtained. In the last section, result is given.