Rekurent dizilerin aritmetik özellikleri

Abstract

Bu çalışmada Zsigmondy teoremi ve bu teoremin uygulamaları ele alınmıştır. İlk olarak klasik Zsigmondy teoremi verilmiş ve daha sonra lineer diziler için Zsigmondy teoremi ele alınmıştır. Daha sonra çalışılan ilk lineer olmayan dizilerden eliptik bölünebilir dizilerdeki ilkel asal bölen kavramı üzerinde durulmuş ve belli eliptik eğrilerle eşleşen eliptik bölünebilir diziler için Zsigmondy sınırı verilmiştir. Birinci bölümünde bazı aritmetik fonksiyonlar ile ilgili temel kavramlar ele alınmış ve daha sonra döngüsel polinomlar ve özellikleri üzerinde durulmuştur. İkinci bölümde ilk olarak ilkel asal bölen tanımı verilerek klasik Zsigmondy teoremi ele alınmıştır. Daha sonra bu teoremin bir elementer ispatı verilerek Zsigmondy teoreminin uygulamaları üzerinde durulmuştur. Son olarak büyük Zsigmondy asal sayısı kavramı verilerek Lucas ve Lehmer dizilerinin ilkel asal bölene sahip oldukları gösterilmiştir. Üçüncü bölümde eliptik dizi kavramı tanımlanarak bu dizilerin özellikleri üzerinde durulmuştur. Daha sonra bu dizilerin eliptik eğrilerle olan ilişkisi kullanılarak bu dizilerde ortaya çıkan ilkel asal bölenler belirlenmiş ve Zsigmondy sınırları verilmiştir.

In this work, the Zsigmondy’s theorem and its applications have been discussed. First, the classical Zsigmondy's theorem was given and then the Zsigmondy’s theorem for linear sequences was discussed. Later, the concept of primitive prime divisors in elliptic divisible sequences, which are one of the first studied non-linear sequences, was discussed and the Zsigmondy bound was given for the elliptic divisibility sequences associated to certain elliptic curves. In the first section, fundamental concepts related to arithmetic functions were discussed, and later on the fundamental concepts of cyclic polynomials and their properties were emphasized. In the second chapter, first the definition of primitive prime divisor was given, and the classical Zsigmondy’s theorem was discussed. Then an elementary proof of the Zsigmondy theorem was given, and applications of the theorem were discussed. Finally, the concept of the large Zsigmondy prime was introduced, and it was shown that Lucas and Lehmer sequences have primitive prime divisors. In the third chapter, the definition of elliptic sequences and their properties were given. Then the relation between these sequences and elliptic curves were used to determine the primitive divisors and Zsigmondy bound for these sequences.