Geometrik-aritmetik ve randic indekslerinin ekstremal değerleri

Abstract

Grafların topolojik indeksleri, başta kimyasal graflar olmak üzere pek çok uygulamaya sahip olan matematiksel fonksiyonlardır. Graf teoride birçok topolojik graf indeksi tanımlanmıştır. Bu indeksler çoğunlukla köşe derecelerine, köşeler arasındaki uzaklıklar aya da grafların matrislerine bağlı olarak tanımlanmaktadır. Bu çalışmada topolojik indeksler için ters problem diye adlandırılan 𝐺𝐴₁ topolojik indeksinin hangi graf çeşitlerinde hangi tamsayı değerleri alabileceğini araştırdık. Dereceleri tam kare olan köşe ikilerinin 𝐺𝐴₁ topolojik indekslerini excel programını kullanarak hesapladık. Bu köşelerden kaç tanesinin 𝐺𝐴₁ topolojik indeks değerlerinin toplamının pozitif bir tamsayı olabileceğini lineer Diophant denklemlerini kullanarak bulduk. Bulunan bu sayılara karşılık gelen bir graf çizilip çizilemediğini, çizilebilme kurallarına göre belirlemeye çalıştık. Bu çalışmada beş bölüm yer almaktadır. İlk bölüm olan giriş bölümünde grafların tarihçesinden, topolojik indeksler ve uygulamalarından, 𝐺𝐴₁ indeksinden ve Randic indeksinin tarihçesinden bahsedilmiştir. Ayrıca literatür taraması ve tezin amacı olmak üzere giriş bölümü, beş alt bölüme ayrılmıştır. İkinci bölüm Ön Bilgiler ile 𝐺𝐴₁ ve Randic indekslerinin tanımları ve hesaplanması olmak üzere iki alt bölüme ayrılmıştır. Ön bilgiler alt bölümünde tezde kullanılan graflarla ilgili tanım ve kavramlar ifade edilmiştir. Üçüncü bölümde ise tezde kullanılan materyal ve yöntemler anlatılmıştır. Dördüncü bölümde araştırma sonuçları ve bulgulardan bahsedilmiştir. Son bölüm olan beşinci bölümde, tezdeki sonuçların tartışması yapılmıştır.

Topological indices of graphs are mathematical functions that have many applications, especially for chemical graphs. Many topological graph indices have been defined in graph theory. These indices are mostly defined depending on the vertex degrees, the distances between the vertices or the matrices of the graphs. In this study, we investigated the problem that which integer values the GA₁ topological index can take for some graph types, which is called the inverse problem for topological indices. We calculated the GA₁ topological indexes of graphs where the vertices have perfect square degrees using the excel program. Using linear Diophantine equations, we found that the sum of how many of these vertices make GA₁ a positive integer. We tried to determine whether a graph corresponding to these numbers can be drawn or not, according to the realizability rules.There are five chapters in this study. In the first chapter, the introduction, the history ofgraphs, topological indexes and their applications, the GA₁ index and the history of the Randic index are mentioned. In addition, the introduction part, which contains the literature review and the aim of the thesis, is divided into five subsections. The second part is divided into two subsections: Preliminaries and definitions and calculations of GA₁ and Randic indices. In the preliminaries, the definitions and concepts related to the graphs used in the thesis are expressed. In the third chapter, the materials and methods used in the thesis are explained.In the fourth chapter, research results and findings are mentioned. In the fifth chapter, which is the last chapter, the results of the thesis are discussed.