Analitik örtü dönüşümleri ve modüler fonksiyonlara uygulanması

Abstract

Üç bölümden oluşan bu çalışmada örtü uzayları, analitik örtü uzayları, modüler fonksiyon ve modüler fonksiyonun örtü dönüşümlerine uygulamaları ele alınmıştır. Birinci bölümde ilerideki bölümlere hazırlık olması amacıyla bazı temel kavramlar tanıtılmıştır. Ayrıca ikinci ve üçüncü bölümdeki teoremlerin ispatlarında kullanılmak üzere bazı önemli teoremler ispatsız olarak verilmiştir. İkinci bölüme örtü dönüşümü yardımıyla elde edilen örtü uzayları tanıtılarak başlanmıştır. Ardından örtü uzaylarının önemli bir özelliği olan, örtülen uzaydaki her bir eğrinin örtü uzayındaki bir eğriye yükseltilebilmesi özelliği ve bunun sonuçları ele alınmıştır. Bunun yanı sıra son olarak, bu bölümde analitik örtü dönüşümleri ve analitik örtü uzayları kavramları incelenmiştir. Burada evrensel örtü uzayı tanımlanmış ve bunun çok önemli sonuçları verilmiştir. Üçüncü bölümde, öncelikle modüler grup ve bunun bir elemanı olan modüler fonksiyon tanıtılmış ve örtü uzayları ile bağlantısı araştırılmıştır. Bunun sonucunda modüler fonksiyon yardımıyla üst yarı düzlemin, C0,1 in bir örtü uzayı olduğu elde edilmiştir. Ardından modüler fonksiyonun örtü uzaylarına bir uygulaması olarak üst yarı düzlemin bir döşemesi ele alınmıştır. Bunun yanı sıra C. E. Picard’a (1856-1941) ithaf edilen önemli iki teorem incelenmiştir. Son olarak evrensel analitik örtü uzaylarının varlığı hakkında gerek ve yeter şartlar verilmiştir.

Covering spaces, analytic covering spaces, modular function and applications of the modular function to covering maps are considered in this work, consisting of three sections. In the first section some fundamental concepts are introduced for the next sections. In addition, some important theorems are given without proofs, to be used in the second and the third sections. The second section begins with covering spaces which are obtained from covering maps. And then the fact that every path in the covered space can be lifted to a path in the covering space, which is an important feature of the covering spaces, is given. Finally in this section, analytic covering maps and anaytic covering spaces are examined. Here, the universal covering space is defined and its consequences which are very important are given. In the third section, firstly modular group and a special element of it, the modular function, are introduced and the connection with covering spaces is investigated. As a consequence of this, the fact that upper half plane is the covering space of C0,1 is obtained. Then as an application of the modular function to covering maps, a tessellation of the upper half plane is considered. However two important theorems dedicated to C. E. Picard (1856-1941) are given. Lastly necessary and sufficient conditions for the existence of the universal analytic covering spaces are given.