Bazı tamsayı dizileri ve Pell denklemleri

Abstract

Bu çalışmada tamsayı dizileri ve Pell denklemleri ele alınmış ve bunlarla ilgili bazı ce-birsel bağıntılar ve özdeşlikler elde edilmiştir.Birinci bölümde, daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı temel tanım ve teo-remlere yer verilmiştir.İkinci bölümde, iki ve dört parametreli tamsayı dizileri ele alınmış bu diziler ile ilgili bazı cebirsel bağıntılar elde edilmiştir. Ayrıca iki parametreli tamsayı dizisinin paramet-relerine bağlı olarak tanımlanan Pell denkleminin tamsayı çözümleri elde edilmiştir.Üçüncü bölümde, oblong sayıları ele alınmış ve bu sayıların bazı cebirsel özellikleri verildikten sonra bu sayılara bağlı olarak tanımlanan Pell formu ve Pell denklemi ele alınmıştır. Pell denkleminin tamsayı çözümlerinin oblong sayılarına bağlı olarak verilebileceği gösterilmiş ve Pell formunun indirgenmişinin devri ve has devri ele alınarak bu formun has otomorfizmlerinin yine oblong saylarına bağlı olarak tanımlanan matris yardımıyla elde edilebileceği gösterilmiştir.Dördüncü bölümde ise, balans sayıları ele alınmış ve bu sayıların hem kendi aralarında hem de Pell ve Pell-Lucas sayıları ile olan ilişkisi incelenmiştir. Ayrıca balans sayılarına bağlı olarak tam kareler ve pisagor üçlüleri elde edilmiştir.Son bölümde ise t>2 tamsayısı için x^2-(t^2-t)y^2-(4t-2)x+(4t^2-4t)y=0 Diophantine denklemi ele alınmış, bu denklemin tamsayılar kümesinde ve p>5 asal sayısı için F_p sonlu cisminde tamsayı çözümleri ele alınmıştır.

In this work, some algebraic properties are obtained on integer sequences and Pell equations.In the first section, the preliminary notations, definitions and theorems which are to be used in later sections are given.In the second section, two separate integer sequences with two and four parameters are discussed and some algebraic relations on them are derived. Moreover, a Pell equation is defined using the parameters of the sequence with two parameters, and deduced the integer solutions of it including some recurrence relations. IN the third section, oblong numbers, Pell form and Pell equations have been considered. The integer solutions of Pell equation can be deduced by using oblong numbers. Also the cycle and proper cycle of the reduction of Pell form are given. Moreover, it is proved that the set of proper automorphisms of Pell form can be obtained by using the matrices related to oblong numbers. In the fourth section balancing numbers are considered. Some algebraic relations on them and also their relationships with Pell and Pell-Lucas numbers are deduced. Further, some formulas on perfect squares and Pythagorean triples related to balancing numbers are given. In the last section, integer solutions of Diophantine equation x^2-(t^2-t)y^2-(4t-2)x+(4t^2-4t)y=0 for an integer t>=2 is considered over Z and also over finite fields F_p for primes p>=5.