Harmonik yalınkat dönüşümler

Abstract

Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde fCO)=f (0)-l=0 şeklinde normalize edilmiş,yön koruyan, yalın-z kat harmonik fonksiyonların S sınıfı ve alt sınıflarının temel özellikleri incelendi. f=h+gsS , h(z)=z+a z +. . . ve g (z) =biz+b2zZ+. . . olmak üzere, |bg| için bir üst sınır, |az| ye bağlı olarak elde edildi. Alt sınıflara ait. f=h+g harmonik fonksiyonları için |h<n>(z) | ve |g<n>(z)| ile ilgili kesin üst sınırlar bulunup, bundan faydalanarak katsayı bağıntıları verildi. F=H+S’ nin tipik reel harmonik yalınkat fonksiyonlar sınıfına ait olması halinde, (l-z2)HCz)/z-(l-(z)2)G(z)/z nin reel katsayılı ve reel kısmı pozitif harmonik fonksiyonlar sınıfına ait olduğu ve bu iki sınıf arasında ters geçişin de mümkün olduğu gösterildi. U birim dairesini, basit bağlantılı özel bir bölge üzerine dönüştüren harmonik dönüşümler tek olarak belirlenemediğinden, ikinci ve üçüncü bölümlerde U’dan belli bir D bölgesi üzerine yön koruyan, yalınkat harmonik fonksiyonların sınıfları, değişik metodlarla incelendi, önce D nin, sabit bir aQeC noktasını bulunduran fi={w:Rew>a,a«dR} olması halinde U’dan Q üzerine f<O)=a , f (0)=a XO bağıntılarını sağlayan, O z 1 yön koruyan, harmonik yalınkat fonksiyonların S„^Ü,O) sini-finin uç noktaları bulunarak, bunlar yardımıyla S <U,Ö)'ya H ait f=h+ğ, h(z)=aQ+aız+. . . , g(z)=biz+. .. fonksiyonları için |a |<(n+l>|a 1/2, |b |<(n-l ) |a |/2, |f (z ) |< |a | / (1 - |z | )3 ve n İn İzi |f_<z>|<|z | |f | oldukları gösterildi. Ayrıca, bu sınıfa ait fonksiyonlar altında U?- : |z | r<i J'nin alanı; ACr)^n|aıl« r2(1+r2)/(1+r2)3 bağıntısını sağladığı gösterildi. Daha sonra Q üzerine kurulan, parametrik olmayan minimal yüzeyin Gauss eğriliği için |kCQ) |^4/|a* |2 olduğu gösterildi. Üçüncü bölümde D’nin reel eksenden iki ışın çıkarılmış D ,=<C\(—oo, a . ]u[b ,,+oo) , a.<0<b,, 0<«£<n, olması halinde <p <p <p S CU,D.) sınıfı, ikinci bölümden farklı bir yaklaşımla ele H <P n , alınıp, uç noktalar yardımıyla |a^ (nsin<£) k|sin(k<£)|, |b |< (n sin0)_1 k|sin(k0)| ve |f (z ) |<(1 + |z |2) /(1 - |z | )5, |f_(z)|< |z||f | oldukları gösterildi.

4 This work consists of three chapters. In the first chapter the class Sh of univalent, sense preserving,harmonic functions normalized by f(0)=f^(0)-1=0, and the basic prop-erties of its subclasses are worked. An upper bound for |b | — 2 in terms of |a | is obtained where f=h+geS , h(z)=z+a z +. . . 2 H 2 and g(z)=biz+bzz2+. . . Sharp upper bounds are obtained for |hvn>(z) | and |g<n>(z)| where f=h+ğ is harmonic functions in subclasses. Using these, estimates for coefficients. are given. When F=H+S’ in the class of typically real harmonic 2 univalent functions, it has been shown that (1-z )HCz)/z -<l-(z)2)ö(z)/z belongs to the class of harmonic functions with real coefficients which have positive real part. Since the harmonic mappings which transform the unit disk U onto a specific simply connected region are not de-termined uniquely, the classes of sense preserving univalent harmonic functions mapping U onto some region D are worked using several methods in the second and third chapters. If D is domain Û=|w:Re w>a»aelRj- containing a fixed point aQ<=<C, by finding the extreme points of the class § <U»fi) of sense preserving harmonic univalent functions from U onto O satisfying f(0)=a , f CO)=a *0, it has been shown that J ® 0X4 |a |<(n+l)|a 1/2 , |b |<(n-l)|al/2 , |f (z > |< |a 1/(1-|z | )3 n i n a, z ı and lf_(z ) 1< |z 1 lf I for the functions f=h+g» h(z)=a +a z + . . , Z Z Ol g(z)=bz+. .. in S (U,fi). Furtermore, for the area A(r) of a ı H the images of U ={z : |z |<r<l}- under the functions of this class, the relation A(r)< nla^l r (1+r )/(l+r ) is given. Aftervards, it has been shown that the Gaussian curvature of the non-parametric minimal surface on fi satisfies the inequality |k(Q)|< 4/la^J2. In the third chapter, in the case where D is = C\ (-a>,a . ]u[b ,,+oo) , a,<0<b,» 0<dKn,the class S (U,D.) is worked <p <f> <p <p H <f> by a different approach and by means of the extreme points, -1 n it has been shown that |a |<(nsin0) £ k |sinCk<£) |, |b |<(n sin0)_i £ k |sin(k<£) | , Jf <z ) |<(1 +|z |Z)/(i-|z | )5 and |f_(z)|< kx| |z I |fzl