Ayrık grupların temel bölgeleri

Abstract

Beş bölümden oluşan bu çalışmanın ana konusu, ayrık grupların ve bunların temel bölgelerinin bazı özelliklerini incelemektir . Ayrık grupların tarihi çok uzundur ve geriye Poincare' nin doğrusal kesirli dönüşümlerin ayrık altgrupları olan Fuchsian gruplar üzerindeki çalışmasına gider. Poincare' , Fuchsian grupları, eliptik fonksiyonları genelleştirmek için tanımladı. Otomorfik fonksiyon diye adlandırılan fonksiyon ailesini elde etti. Bunlar Fuchsian gruplar altında invaryant olan fonksiyonlardır. Ayrıca Fuchsian grupların , Lobatschewsky tarafından tanımlanan hiperbolik düzlemin yön koruyan eşmetrilerinin süreksiz gruplarıyla idantik olduğunu gördü. Bunlara ek olarak, Riemann yüzeylerinin otomorfizmleri de, Fuchsian gruplar yardımı ile incelenir. Bizim amacımız, ayrık gruplar ve bunların temel bölgeleri hakkında oldukça kapsamlı bilgileri vermektir. Bunun için önce, birinci bölümde, topolojik gruplar, süreksiz gruplar, ayrık gruplar ve hiperbolik geometriyle ilgili gerekli klasik kavramlar ve sonuçlar verildi. Bazıları ispatsızdır, ancak literatüre atıf yapılmıştır. Diğer bölümler ise, Kleinian gruplar, fuchsian gruplar, NEC-gruplar ile R3 ve Rn deki ayrık grupların incelenmesine ayrılmıştır. Keza bu grupların her bir i için temel bölgeler tanımlanmıştır. Bazı temel özellikleri özetledikten sonra, bu kavramlarla ilgili birçok önemli teoremi biraraya getirdik. Ayrıca bazılarının literatürde bulunmayan ispatlarını verdik. Temel bölge,ayrık gruplar için çok önemlidir. Çünkü; grubun temsili ve bölüm uzayı (Riemann yüzeyleri, Kleinian yüzeyler ve 3-manifoldlar) temel bölgeler kullanılarak elde edilir.

The main object of this work, which consists of five chapters, is to investigate some properties of discrete groups and fundamental regions of these groups. The history of discrete groups is long, going back to Poincare' s work on Fuchsian groups which are discrete subgroups of linear fractional transformations. He introduced Fuchsian groups in order to generalise elliptic functions. He found new families of functions called the automorphic functions which are invariant under Fuchsian groups. He also realized that Fuchsian groups are identical with discontinuous groups of orientation .preserving isometries of hyperbolic plane introduced by Lobatschewsky. Besides these automorphisms of Riemann surfaces are studied using Fuchsian groups. Our aim is to present a fairly extensive knowledge about the discrete groups and their fundamental regions. For this purpose firstly, we give some necessary required classical concepts and results about general topological groups, discontinuous groups, discrete groups and hyperbolic geometry in chapter I,some «ithout proof, but with references to the literature. The remaining chapters are devoted to Kleinian 3 groups, Fuchsian groups, NEC-groups and discrete groups on R3 and Rn . We also define fundamental regions for these groups.After summarising some basic properties we collect many important theorems for these concepts. Besides these we supply some missing proofs of important statements. The fundamental reglon is important for discrete groups since the representation of these groups and quotient spaces, (Riemann surfaces, Kleinian surfaces and 3-manifolds) are obtained by using fundamental regions.