Riccati denklemi, analitik çözüm için yeni bir yöntem geliştirilmesi ve mühendislik uygulamaları

Abstract

Riccati denklemi, matematik modellerin yapıldığı birçok bilim dalında, çeşitli formlarda karşımıza çıkmaktadır. Başta birçok fiziksel durumun matematiksel modellemesi olmak üzere, kontrol sistemleri, otomatik sistemlerin programlaması, finansal modellemeler, kuantum mekaniği gibi çok geniş bir uygulama alanından bahsedilebilir. Genellikle non-lineer olarak adlandırılan durumlar, davranışlar veya sistemleri içeren problemlerin çözümünde direkt yada transformasyon yöntemleriyle Riccati denklemine ulaşılır. Şimdiye kadar belli bir analitik çözüm yönteminin her şarta uygun olarak bulunamamasından dolayı matematik biliminin başlıca konularından biri olmuştur. Günümüze kadar geliştirilmeye çalışılmış olan çözüm yöntemleri ya sadece belli şartlar altında analitik olarak çalışmaktadır yada nümerik yaklaşımlarla çözümler sunabilmektedir. Bu çalışmada, bilinen mevcut çözüm yöntemlerini irdeleyeceğiz, ardından yeni bir çözüm yöntemi geliştirerek örneklerle pekiştirmeye çalışacağız ve son olarak da pratik uygulamalarda karşımıza çıkan problemleri bu yeni yöntemle çözeceğiz. Sunulan yeni yöntem, içerdiği basit bir transformasyon yardımıyla, çözülmeye çalışılan belirli bir Riccati denkleminin analitik bir çözüme sahip olup olmadığını da kolaylıkla göstermektedir. Birinci mertebeden non-lineer bir diferansiyel denklem olan Riccati denklemi üzerine yapılan çalışmalar halen sürmektedir. Bilim dünyasında, Riccati denklemiyle ilişkili birçok konuda çeşitli kitaplar yazılmıştır, birçok makaleler yayınlanmıştır ve hala yazılmaya/yayınlanmaya da devam edilmektedir.

The Riccati equation emerges in various forms in many disciplines where mathematical models are made. It can be talked about a wide range of applications such as control systems, programming of automatic systems, financial models, quantum mechanics, mathematical modeling of many physical states. The Riccati equation can be reached by means of direct-side transformation methods for solving problems, which are usually called non-linear, problems involving behavioral systems. It has been one of the main topics of mathematical science because of the fact that until now a certain analytical solution method cannot be found in every circumstance appropriately. The solution methods that have been tried to be developed so far are only analytically operating under certain conditions, and can provide some solutions with numerical approaches. In this study, we will examine the existing solution methods which are known, then we will try to reinforce it with examples by developing a new solution method and finally we will solve the problems that are encountered in practical applications with this new method. The new method presented easily demonstrates that a given Riccati equation, attempted to be solved, has an analytical solution with a simple transformation included. Studies on the Riccati equation, a first-order nonlinear differential equation, are still in progress. In the world of science, various books have been written in many subjects related to the Riccati equation, many articles have been published and are still being written / published.