Süreksiz gruplar ve temel bölgeler

Abstract

Süreksiz ve ayrık gruplar otomorf fonksiyonlar teorisinde önemli bir yer tutar. Temel bölge ise süreksiz ve ayrık gruplar kavramı için önemli bir kavramdır. Bu çalışmada süreksiz gruplar, ayrık gruplar ile temel bölgeler arasındaki ilişki incelenmiştir. Giriş kısmında, otomorfik fonksiyonlar, süreksiz ve ayrık gruplar kısaca betimlenmiştir. Birinci bölümde çalışmanın ikinci ve üçüncü bölümündeki incelemeler için gerekli olan kavramlar verilmiştir. İlk olarak topolojik dönüşüm grupları ve ayrık grupların tanımı ve temel özellikleri belirtilmiştir. Daha sonra doğrusal dönüşümler tanıtılmış ve temel özellikleri üzerinde durulmuştur. Ayrık gruplar için temel bölgenin incelenmesinde gerekli olan kavramlar ise hiperbolik geometri kısmında verilmiştir. İkinci bölümde, süreksiz ve ayrık grup kavramları tanıtıldıktan sonra bu grupların temel özellikleri üzerinde durulmuştur. Süreksiz ve ayrık gruplar arasındaki ilişki belirtilmiştir. Üçüncü bölümde çalışmanın temelini oluşturan temel bölge kavramı üzerinde durulmuştur. Bu kısımda ilk olarak genel süreksiz gruplar için temel bölge kavramı ve temel özellikleri verilmiştir. Daha sonra PSL(2, R) nin alt grupları için temel bölge kavramı üzerinde durulmuştur. Son olarak bir temel bölgenin alanının hesaplanması ile ilgili bilgiler verilmiştir.

Discontinuos and discrete groups have significant place in the theory of automorphic functions. The concept of fundamental region has importance for the discontinuos and discrete groups. In this work, the relations between discontinuos groups, discrete groups and fundamental regions are studied. At the introduction, some important ideas are briefly described. In the first chapter, basic notions which are necessary in the second and third chapters are given. First of all, definitions and fundamental properties of general topological groups and discrete groups are recalled. Then linear transformations are introduced and their fundamental properties are given. Fundamental ideas which are necessary to study fundamental regions of discrete groups are given in the section concerned with hyperbolic geomety. In the second chapter, discontinuos and discrete groups are introduced, and then the relations between these groups are discussed. In the third chapter, the concept of a fundamental region which forms the basis of this study is considered. Firstly the concept of a fundamental region and some examples of it are given for the general discontinuos groups. Then this discussion is done for PSL(2, R). Lastly, computation of hyperbolic area of the fundamental region is given.